11.6 Problemas Resueltos
1. Con 12 consonantes y 5 vocales, Cuántas palabras de 4 letras pueden formarse que tengan 2 vocales (no repetidas) en el medio y una consonante (que puede repetirse o ser diferente) en cada extremo?

Solución
Las vocales pueden colocarse de formas diferentes ya que forman pares ordenados, o sea, dos colocaciones de dos vocales en la palabra se diferencian por tener las vocales diferentes, o si tienen las mismas, por el orden en que aparecen.

En el caso de las consonantes estamos evidentemente ante un caso de repetición, pero debemos determinar si es VR, PR o CR. En nuestro caso las consonantes ocupan lugares precisos, es decir hay un orden, luego no puede tratarse de CR.

Por otra parte, no se utilizan todas las consonantes a la vez, por lo cual no puede tratarse de PR y, por tanto, es un caso de .

El número total de palabras es entonces:
.

2. Hay 20 puntos en un plano de los cuales 3 no están nunca en línea recta, excepto 5 de ellos que son colineales. Cuántas rectas diferentes pueden trazarse por esos puntos?

Solución
Consideremos primeramente los 15 puntos que no son colineales. Como cada par de ellos determinan una recta, el número de ellas que pueden trazarse por estos 15 puntos es igual a

Además cada uno de estos 15 puntos puede unirse con cada uno de los 5 puntos colineales produciendo así 15 ´ 5 = 75 rectas más. A esto se añade la recta que pasa por los 5 puntos colineales, es decir, hay en total 105+75+1 = 181 rectas diferentes.

3. En una urna hay 5 bolas rojas, 7 blancas y 3 negras:
a) De cuántas formas se pueden sacar 5 bolas?
b) De cuántas formas, al sacar 5 bolas, se pueden sacar 2 rojas, una blanca y una negra?
c) De cuántas formas, al sacar 5 bolas, se pueden obtener a lo más 3 bolas rojas?
d) De cuántas formas al sacar 4 bolas, se pueden obtener al menos 2 bolas negras?

Solución
a)
En la urna hay 15 bolas en total. En este caso no se ponen condiciones a las bolas que hay que sacar, luego las 5 bolas se pueden sacar de formas diferentes.

b) Las dos bolas rojas se pueden escoger de entre las 5 que existen de formas diferentes. Por cada una de estas diez formas se saca una bola blanca de maneras, formándose por tanto 70 combinaciones posibles, y por cada una de ellas la bola negra se puede sacar de formas, con lo cual el número pedido es

c) La condición de sacar a los más 3 bolas rojas se cumple en 4 formas posibles:
i. No sale ninguna bola roja.
ii. Sale exactamente una bola roja.
iii. Salen exactamente dos bolas rojas.
iv. Salen exactamente tres bolas rojas.

En el primer caso las 5 bolas se pueden extraer de las 10 que hay entre blancas y negras; en el segundo caso, 4 bolas se extraen de esas mismas 10; en el tercero 3 de entre las 10, y en el cuarto, 2 de entre esas 10.

En el primer caso hay formas; en el segundo ; en el tercero, y en el cuarto, , luego el número pedido es 252+1050+1200+450 = 2952.

d) Al sacar de las 4 bolas exactamente 2 bolas negras, entonces se logran al menos 2 bolas negras o si salen exactamente 3 bolas negras.

No pueden salir las 4 bolas negras pues sólo hay 3 en la urna. Razonando como en el caso anterior se puede obtener fácilmente la respuesta:


4. Dos amigos se proponen dar una comida a 8 de sus compañeros: El primero conoce a 4 costeños y a 5 bogotanos y el segundo, a 5 costeños y a 4 bogotanos. En la comida deben haber 4 costeños y 4 bogotanos y además 4 han de ser amigos de uno y 4 del otro. Se supone que no existen amigos comunes. De cuántas formas puede hacerse la invitación?

Solución
Denotemos por A al primero de los dos amigos y por B al segundo.

Escribamos simbólicamente las posibilidades de A y B de invitar a 4 amigos.

A
B
a)
0 c + 4 b
a)
4 c + 0 b
b)
1 c + 3 b
b)
3 c + 1 b
c)
2 c + 2 b
c)
2 c + 2 b
d)
3 c + 1 b
d)
1 c + 3 b
e)
4 c + 0 b
e)
0 c + 4 b

Debido a la condición de que en la comida deben haber 4 costeños y 4 bogotanos, sólo pueden combinarse las posibilidades de A y B que tienen igual número: Así, por ejemplo, A puede llevar 3 costeños y 1 bogotano y B, 1 costeño y 3 bogotanos ya que esta constitución del grupo satisface las condiciones.

En el caso a) A puede lograr la composición 0c y 4b, teniendo en cuenta que él conoce a 4 costeños y 5 bogotanos, de formas diferentes, mientras que B, que conoce a 5 costeños y 4 bogotanos lo puede hacer de formas.

Por cada una de las formas de A hay formas de B. Luego la primera variante se puede hacer de 5x5 = 25 formas diferentes.

Razonando de igual forma para los casos b, c, d, e se tiene:
b)
c)
d)
e)

Por tanto, la invitación puede hacerse de:
25 + 1600 + 3600 + 400 + 1 = 5626 formas diferentes

5. En un estante hay 20 libros de matemática, 12 de física y 8 de filosofía.
a) De cuántas formas diferentes pueden sacarse 6 libros?
b) De cuántas formas pueden sacarse 10 libros si 4 deben ser de matemática, 3 de física y 3 de filosofía?
c) De cuántas formas pueden seleccionarse 10 libros si al menos 7 deben ser de matemáticas?

Solución
a)
b)
c)

6. Cuántos números de 6 dígitos tienen al menos un dígito par?

Solución
Para encontrar los números de 6 dígitos que tienen al menos un dígito par, hallemos primero los números de 6 dígitos todos ellos impares.

Se trata de hallar donde m = 5 y n = 6; .

Como existen 900.000 números de 6 dígitos, se concluye que los números de 6 dígitos que poseen al menos un dígito par son .

7. Un alfabeto consta solamente de tres letras A, B, C. Una palabra en este lenguaje es una secuencia arbitraria de no más de 4 letras. Cuántas palabras contiene este lenguaje?

Solución
Calculamos separadamente las palabras de una letra, dos letras, tres letras y 4 letras.

Una letra .
Dos letras .
Tres letras .
Cuatro letras .

Entonces el alfabeto contiene 120 palabras.

 
 

 
  Sección 11.5
Capítulo 12