3.1 Máximo Común Divisor

3.1.1. Definición. Se llama común divisor de dos enteros a un entero que los divida exactamente.

Ejemplo: 2, 3 y 6 son divisores comunes de 18 y 24.

3.1.2. Definición. Se llama máximo común divisor de dos enteros, al menos uno de ellos diferente de cero, al mayor entero que los divide exactamente.

De la definición anterior es claro que el máximo común divisor de dos enteros es siempre un entero positivo.

Ejemplo: Sean a = 24, b = 27. Escribamos el conjunto de todos los divisores comunes positivos de 27 y 24. Sea S este conjunto:
S = {1, 3}.

Luego, el máximo común divisor de 24 y 27 es 3.

Ejemplo: Halle el máximo común divisor de 32 y 48.
Sea S el conjunto de los divisores comunes positivos.
S = {1, 2, 4, 8, 16}.

Luego, el máximo común divisor de 32 y 48 es 16.

Si d es el máximo común divisor de dos números a y b se escribe:
d = M.C.D.(a, b).

3.1.3. Teorema. Dados los enteros a y b, no ambos cero, existen enteros x y y tales que M.C.D.(a, b) = ax + by.

Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3. Entonces se cumple 3 = 27*(1) + 24*(-1).
En este caso, x = 1 y y = -1.

Más adelante se estudiará un método expedito para hallar x y y.

3.1.4. Definición. Dos enteros a y b, no ambos cero, se llaman primos relativos si M.C.D.(a, b) = 1.

Ejemplo: Sea a = 28, sus divisores positivos son {1, 2, 4, 7, 14}.
b = 25, sus divisores positivos son {1, 5}.

El único divisor común es 1. Luego 25 y 28 son primos relativos.

3.1.5. Teorema. Dados dos enteros a y b, no ambos cero, a y b son primos relativos sí y sólo sí existen enteros x e y tales que 1 = ax + by.

Demostración: Si a y b son primos relativos entonces M.C.D.(a, b) = 1. Luego por teorema 2.3.3. 1 = ax + by.

Ahora, sea d = M.C.D.(a, b), luego, d|a y d|b y por los teoremas 2.2.2. y 2.2.3. se tiene que d|ax + by, o sea que d|1. Necesariamente d = 1.

3.1.6. Corolario. Si M.C.D.(a, b) = d, entonces, se tiene que M.C.D. .

Recíprocamente, si d|a, d|b y M.C.D. entonces, M.C.D. (a,b) = d.

Ejemplo: como M.C.D.(24, 27) = 3, entonces, se cumple que

M.C.D. = M.C.D.(8, 9) = 1.

3.1.7. Teorema. Sean a ,b, c enteros. Si a|c y b|c y M.C.D.(a, b) = 1, entonces, ab|c.

Demostración
Como: a|c, c = ar para algún r.
b|c, c = bs para algún s.

Sea d = M.C.D. (a, b). Por tanto, d = 1, de acá se concluye que existen enteros x, y tales que 1 = ax + by.

Multiplicando por c: c = acx +bcy.

Implica que c = a(bs)x + b(ar)y = ab(sx + ry), o sea que abïc.

Euclides

De este matemático griego, se sabe poco de su vida y su carácter, pero probablemente pasó sus años de instrucción en Atenas, antes de aceptar la invitación de Ptolomeo para instalarse en Alejandría. Enseñó, durante veinte o treinta años, escribiendo sus conocidos ELEMENTOS y muchas otras obras de importancia.

Se nos ha transmitido la imagen de un hombre de estudio, genial, modesto y escrupulosamente honrado, siempre pronto a reconocer el trabajo original de otros y visiblemente amable y paciente.

En los Elementos, Euclides comenzó a escribir una descripción exhaustiva de las matemáticas, tarea colosal aún en su tiempo. Su obra consta de trece libros. Los libros VII, VIII y IX son aritméticos y dan una descripción interesante de la Teoría de Números. Se introducen los números primos y compuestos, distinción relativamente tardía; también, por primera vez, el M.C.D. y el m.c.m. de los números, la teoría de las progresiones geométricas y el teorema am+n=am.an, junto con el método de sumar la progresión, mediante una hermosa utilización de las razones iguales. Euclides utilizó este método, incidentalmente, para presentar sus números perfectos tales como 6, 28, 496, cada uno de los cuales es igual a la suma de sus factores.

 
 

 
  Capítulo 3
Sección 3.2