7.4 Ejercicios resueltos

1. Demuestre que para tienen el mismo dígito de las unidades.

Solución

Demostrar que tienen el mismo dígito de las unidades, es equivalente a demostrar que termina en 0, o sea que ; o lo que es lo mismo, demostrar que .

Por corolario al Teorema de Fermat, se tiene que , o sea que .

De otra parte: .

Por tanto , es par por contener dos factores consecutivos, o sea que .

De las expresiones ,

y como M.C.D.(2, 5) = 1

se tiene por el teorema 2.3.7 que , ó .

2. Demuestre que si p, q son primos diferentes tales que:

Entonces, .

Solución.

Del corolario al Teorema de Fermat, se tiene:

y como por hipótesis ,

entonces, .

Del corolario al Teorema de Fermat, se tiene:

y como por hipótesis ,

entonces, .

De las expresiones anteriores:

se obtiene:

y como M.C.D.(p, q) = 1, por el lema de Euclides, se concluye que .

O sea .

3. Demuestre que .

Nota: 341 = 31 ´ 11.

Solución.

, por tanto,
o sea , entonces, .

De otra parte, , por tanto,
o sea , entonces, .

De las congruencias:

y utilizando el ejercicio anterior, se tiene , o sea ; como M.C.D.(2, 341) = 1

Entonces, .

4. Asumiendo que no son divisibles por un primo p, demuestre:

Si , entonces, .

Solución

Por corolario a teorema de Fermat.

Además como por hipótesis ; se tiene que .

5. Demuestre que si M.C.D.(a, 35) = 1, entonces, .

Solución

Como M.C.D.(a, 35) = 1 entonces .

Utilizando el Teorema de Fermat, se tiene:

, por tanto, , o sea .

Utilizando de nuevo el Teorema de Fermat:

, por tanto, , o sea .

De las congruencias:

Se tiene:

7 | (a12 - 1 )

5 | (a12 - 1 )

Como M.C.D.(5, 7) = 1

entonces, o sea .

6. Demuestre que es impar sí y sólo sí n es cuadrado perfecto.

Solución.

Supongamos que n es cuadrado perfecto,

entonces,
o sea que es impar por ser producto de factores impares.

Ahora, supongamos que es impar, entonces, cada factor de es de la forma .

Por tanto, n es cuadrado perfecto.

7. Encuentre el menor entero positivo n que tiene 10 divisores positivos.

Solución.

Como

Entonces,

ó

En el primer caso, los exponentes de los factores primos de n son 9 y 0.

Por tanto, .

En el segundo caso, los exponentes de los factores primos de n son 4 y 1.

Por tanto,

ó

Entonces, el menor entero positivo que tiene 10 divisores es 48.

8. Demuestre que para satisface que

Solución.


o sea .

9. Demuestre que si son primos, entonces, .

Solución.

Como es primo, entonces, .

Como n es primo, entonces .

Por tanto,

Entonces, .

10. Pruebe que existen infinitos pares de enteros m y n tales que .

Solución.

Sea M.C.D.(k, 10) = 1 (Por ejemplo, sea k cualquier primo mayor que 10).

Sea

Por tanto .


Por tanto, .

De otra parte,


Por tanto, .

Con lo que finaliza la demostración.

Así , por ejemplo,

Sea

Por tanto,

 
 

 
  Sección 7.3
Sección 7.5